Как найти тангенс угла?

Тангенс связывает угол с отношением сторон, а не с «угадыванием» по чертежу на глаз. Ниже — школьное определение, связь с синусом и косинусом и типичные ошибки на калькуляторе.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Ту же величину получают как отношение синуса угла к его косинусу, если эти функции уже известны.

Через стороны треугольника

Отметьте угол α при вершине. Катет напротив этого угла — противолежащий, катет между углом и прямым углом — прилежащий. Тогда tg α = a / b, где a — противолежащий, b — прилежащий. Гипотенуза в эту формулу не входит. Если даны две стороны, сначала убедитесь, что треугольник прямоугольный и что вы не перепутали катеты местами.

1. Определите, какой катет лежит напротив нужного угла.
2. Определите прилежащий катет.
3. Разделите первую длину на вторую.
4. Упростите дробь или запишите десятичную дробь по требованию задачи.

Через синус и косинус

Верно равенство tg α = sin α / cos α при cos α ≠ 0. На единичной окружности тангенс не определён для углов, где косинус равен нулю — там вертикальная асимптота. Для школьных острых углов в треугольнике эта проблема обычно не возникает.

На калькуляторе

Переведите режим в градусы, если угол дан в градусах, или в радианы, если в условии радианы. Нажмите tg или tan и введите меру угла. Обратная задача — найти угол по тангенсу — решается через arctg / tan⁻¹. Не путайте тангенс с котангенсом: ctg α = 1 / tg α. Проверяйте ответ прикидкой: для 45° тангенс равен 1, для углов меньше 45° в прямоугольном треугольнике противолежащий катет короче прилежащего, значит tg < 1.

В задачах на плоскости тангенс также связывает угол наклона прямой с коэффициентом k в уравнении y = kx + b: k = tg α для угла с положительным направлением оси x. Смысл тот же — отношение «подъёма» к «пробегу». Главное — не смешивать определение через катеты с формулами приведения без схемы.