Как найти длину вектора?

Длина вектора — это его модуль, расстояние от начала стрелки до конца. В координатах его не измеряют линейкой, а считают по формуле.

Длину вектора находят по координатам: извлекают квадратный корень из суммы квадратов всех его компонент. На плоскости для вектора (a; b) модуль равен корню из a² + b². В пространстве добавляют третью координату под тот же корень.

Откуда формула

Вектор из начала координат в точку (a; b) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Теорема Пифагора как раз и даёт корень из суммы квадратов. Если вектор задан двумя точками, сначала вычитают координаты начала из координат конца и только потом считают длину уже этого разностного вектора.

Пример

Вектор (3; 4). Квадраты 9 и 16, сумма 25, корень 5. Длина равна 5. Вектор (2; −1; 2) в пространстве: 4 + 1 + 4 = 9, корень 3. Знаки координат на длину не влияют, потому что они возводятся в квадрат. Нулевой вектор (0; 0) имеет длину 0.

Проверка

1. Если вектор задан концами, не подставляйте в формулу сами координаты точек: нужна разность.
2. Корень берут арифметический, неотрицательный. Длина не бывает отрицательной.
3. Единицы сохраняют: если координаты в сантиметрах, длина тоже в сантиметрах.

Для коллинеарности и угла длина тоже нужна, но сам модуль считается отдельно и не требует угла. Если в ответе получилось длиннее, чем размах координат, проверьте, не забыли ли вы корень: сумма квадратов — это ещё не длина.

Имеет смысл прикинуть результат до калькулятора. Вектор (3; 4) не может быть короче 4 и длиннее 3+4, значит 5 выглядит правдоподобно, а 25 или 7 — нет. Такая вилка ловит забытый корень и лишний квадрат быстрее, чем повторный пересчёт вслепую.