Как найти вершину параболы?

Вершина — это точка, где ветви поворачивают, а не корни, в которых парабола пересекает ось иксов. Корни могут лежать симметрично по бокам от неё.

Вершину параболы y = ax² + bx + c находят так: абсцисса равна минус b, делённому на 2a, ординату получают подстановкой этого x в уравнение. Буква a не равна нулю, иначе это не парабола. Если a больше нуля, вершина — нижняя точка, ветви вверх. Если a меньше нуля, вершина — верхняя точка, ветви вниз.

Формула

Обозначьте x₀ = −b / (2a). Затем y₀ = a(x₀)² + b x₀ + c. Пара (x₀; y₀) и есть вершина. Ординату можно сверить через дискриминант: y₀ = −D / (4a), где D = b² − 4ac. Оба пути дают одно и то же число. Если разошлись, ошибка в подстановке, чаще всего в знаке b.

Пример

1. Возьмите y = 2x² − 8x + 5. Здесь a = 2, b = −8, c = 5.
2. x₀ = −(−8) / (2 · 2) = 8 / 4 = 2.
3. y₀ = 2 · 4 − 8 · 2 + 5 = 8 − 16 + 5 = −3.
4. Вершина (2; −3). Ветви вверх, потому что a положительная. Дискриминант 64 − 40 = 24, минус 24 делить на 8 равно −3. Сходится.

Корни уравнения, где игрек равен нулю, — это другие точки. Их может не быть, если дискриминант отрицательный, а вершина есть всегда. Не подставляйте корни вместо абсциссы вершины. Если парабола уже задана в виде «а умножить на скобку икс минус эм в квадрате плюс ка», вершина сразу точка эм и ка, и дробь с коэффициентом при иксе считать не нужно. Ось симметрии проходит через абсциссу вершины вертикально. В ответе пишут обе координаты: одна абсцисса вершину не задаёт.

На клетчатом чертеже вершина — самая низкая точка при ветвях вверх или самая высокая при ветвях вниз. Проверка без калькулятора: посчитайте игрек на один шаг левее абсциссы вершины и на один шаг правее. Числа должны совпасть, потому что парабола симметрична. Если не совпали, абсциссу взяли неверно. Точку, где график пересекает ось игреков, с вершиной не путают. Это высота свободного члена при нулевом иксе, и с вершиной она совпадает только когда коэффициента при первой степени нет. Свободный член сам по себе высоту вершины не называет.