Как найти производную функции?

Штрих у функции — это новая функция, а не одно число, пока вместо x не подставили конкретную точку. Сначала применяют правила, потом считают значение, если его просят.

Производную функции находят по правилам дифференцирования. По смыслу это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На практике для школьных и вузовских примеров берут таблицу правил и применяют их по порядку, а предел пишут, когда просят именно определение.

Правила, которыми пользуются

1. Степень: производная x в степени n равна n умножить на x в степени n минус один. Производная x в квадрате равна 2x, производная x в кубе равна 3x в квадрате.
2. Константу выносят: производная от c умножить на f равна c умножить на производную f. Производная постоянного числа равна нулю.
3. Сумма дифференцируется по слагаемым. Производная разности — разность производных.
4. Произведение: штрих первого умножить на второе плюс первое умножить на штрих второго. Нельзя просто перемножить две производные.
5. Сложная функция: производная внешней по внутренней, умноженная на производную внутренней. У синуса двойного угла получится косинус двойного угла, умноженный на 2.

Пример

Возьмите f(x) = 3x в квадрате минус 5x плюс 7. По слагаемым: 3 умножить на 2x даёт 6x, производная минус 5x равна минус 5, семёрка исчезает. Значит f′(x) = 6x − 5. Это снова функция. Значение в точке x = 1 равно 1. Подставлять точку до дифференцирования нельзя: число 3 минус 5 плюс 7 производной не имеет смысла как функция, это уже значение исходной в единице.

Полезные табличные строчки рядом: производная синуса равна косинусу, косинуса — минус синусу, экспоненты e в степени x — ей самой, натурального логарифма — единице, делённой на x, при x больше нуля. Если в ответе степень выросла, а не упала, степень продифференцировали не в ту сторону. Если от константы осталась сама константа, нуль потеряли. Скобки в сложной функции раскрывают правилом цепи, а не «штрихом только у внешней».